Критерий Келли (Kelly Criterion)

Критерий Келли (Kelly Criterion) — математический метод определения доли капитала, которую следует направить на ставку при заданных коэффициенте и оценке вероятности исхода. Критерий разработан для максимизации долгосрочного логарифмического роста капитала при повторяющихся положительно ожидаемых возможностях. Для бинарной ставки классическая формула записывается как f = (bp − q) / b*, где p — вероятностьЧисловая мера того, насколько вероятно наступление конкретного исхода — от 0 (никогда) до 1 или 100% (всегда).Подробнее → выигрыша, q = 1 − p, а b — чистая прибыль на единицу ставки. Если расчёт даёт ноль или отрицательное значение, положительного размера ставки по критерию Келли нет.

Что такое критерий Келли

Kelly Criterion отвечает на вопрос:

«Какую долю банкролла имеет математический смысл поставить, если я считаю, что вероятность события отличается от той, которая заложена в коэффициентКоэффициент (Odds) — число, на которое умножается сумма ставки при выигрыше, одновременно отражающее рыночную оценку букмекера вероятности этого исхода: чем выше коэффициент, те...Подробнее →?»

Это отличает его от progression systems.

МартингейлЧто такое стратегия Мартингейла в рулетке и ставках. Как работает удвоение после проигрыша, почему оно не меняет house edge и чем опасны серии поражений, лимиты стола и ограниче...Подробнее → говорит:

проиграл — увеличь ставку.

ParoliЧто такое система Paroli в рулетке и ставках. Как работает положительная прогрессия 1–2–4, чем Paroli отличается от Мартингейла и почему увеличение после выигрыша не отменяет ho...Подробнее →:

выиграл — увеличь ставку.

FibonacciЧто такое система Фибоначчи в рулетке и ставках. Как работает последовательность 1–1–2–3–5, чем Fibonacci отличается от Мартингейла и почему progression не отменяет house edge.Подробнее →:

перемещайся по числовой последовательности в зависимости от результата.

Kelly Criterion использует другую информацию:

вероятность исхода + предлагаемую выплату + текущий капитал.

Предыдущий выигрышСумма, которую игрок получает, если исход ставки или игры сложился в его пользу.Подробнее → или проигрышПотеря ставки или части денег, когда исход игры или пари сложился не в пользу игрока.Подробнее → сам по себе не является причиной увеличить следующую ставку.

Откуда появился Kelly Criterion

Критерий назван в честь американского исследователя John L. Kelly Jr.

В 1956 году он опубликовал работу A New Interpretation of Information Rate, связанную первоначально с теорией информации.

Из этой математической постановки возник принцип оптимального распределения капитала при повторяющихся благоприятных возможностях.

Основная цель Kelly Criterion — не максимизировать прибыль одной отдельной ставки.

Критерий максимизирует ожидаемый логарифмический темп роста капитала в долгосрочной повторяющейся модели.

Поэтому Kelly относится одновременно к:

• probability theory
• bankroll managementBankroll Management — система правил по управлению игровым бюджетом. Разбираем принципы, популярные стратегии, ошибки новичков и роль самоконтроля.Подробнее →
• betСумма денег или иная ценность, которую участник закладывает на определённый исход события в надежде на выигрыш.Подробнее → sizing
• investment theory.

Формула критерия Келли

Для простой бинарной ставки используется формула:

f = (bp − q) / b*

где:

• f* — доля банкролла
• b — чистая прибыль на единицу ставки
• p — оценённая вероятность выигрыша
• q — вероятность проигрыша, то есть 1 − p.

Для decimal odds коэффициент сначала преобразуют:

b = Odds − 1.

Например, при коэффициенте 2.00 чистая прибыль на единицу ставки равна:

b = 1.

Пример расчёта Kelly Criterion

Представим условную ситуацию:

• коэффициент — 2.00
• оценённая вероятность победы — 55%
• вероятность поражения — 45%.

Получаем:

b = 1
p = 0,55
q = 0,45

Подставляем:

f = (1 × 0,55 − 0,45) / 1*

Получаем:

f = 0,10.*

То есть математическая модель Full Kelly указывает на 10% банкролла.

Но здесь находится главный вопрос всей системы:

откуда взялись 55%?

Если реальная вероятность составляет не 55%, а, например, 48%, исходная предпосылка расчёта неверна.

Формула может быть рассчитана идеально — и при этом дать бесполезный результат из-за ошибочной оценки p.

Что показывает положительный Kelly

Положительное значение появляется, когда оценённая вероятность пользователя предполагает положительное expected valueExpected Value (EV) — показатель математического ожидания выигрыша или проигрыша в долгосрочной перспективе. Разбираем, как его считать и использовать в ставках и казино.Подробнее → при предлагаемых odds.

Условно:

Отрицательный Kelly не означает:

«поставить отрицательную сумму».

Для обычной ставки это означает, что положительная позицияПозиция (Position) — место игрока за покерным столом относительно баттона (см. Баттон), определяющее порядок его действий в каждом раунде торгов и, соответственно, объём доступн...Подробнее → на данный исходИсход — конкретный результат события, который в итоге происходит и на который можно было сделать ставку заранее.Подробнее → по заданным предположениям не оправдана.

Kelly Criterion и Expected Value

Критерий Келли имеет смысл только в контексте предполагаемого edge.

Допустим, букмекерБукмекер — компания (или исторически человек), которая принимает ставки на спорт, устанавливает коэффициенты и выплачивает выигрыши.Подробнее → предлагает decimal odds:

2.00.

Без учёта маржи такой коэффициент соответствует implied probability:

1 / 2,00 = 50%.

Если пользователь обоснованно оценивает вероятность события в 55%, он считает, что обнаружил расхождение:

• его оценка — 55%
• цена — около 50%.

Именно такое предполагаемое преимущество Kelly превращает в размер позиции.

Если преимущества нет, критерий не способен создать его изменением размера ставки.

Это фундаментальное отличие Kelly Criterion от идеи:

«правильная система ставокСистема ставок — комбинация из нескольких событий, разбитая на множество мелких экспрессов, где можно получить выплату, даже если не все прогнозы оказались верными.Подробнее → способна победить отрицательное математическое ожиданиеОтрицательное математическое ожидание — ситуация, при которой решение (ставка, игра) в среднем убыточно, если повторять его много раз подряд.Подробнее →».

Kelly Criterion не создаёт Value

Это одна из самых важных характеристик.

Kelly не отвечает на вопрос:

«Кто победит?»

Он также не отвечает:

«Правильно ли я оценил вероятность?»

Он отвечает только:

«Если моя вероятность p верна, какой размер позиции максимизирует ожидаемый логарифмический рост?»

Поэтому последовательность должна выглядеть так:

оценка вероятности — сравнение с odds — предполагаемый edge — Kelly sizing.

А не:

Kelly — появление преимущества.

Если исходная ставка имеет отрицательное expected value, управление банкроллом не превращает её в положительно ожидаемую.

Главная проблема — неизвестная вероятность

В учебных примерах часто используется монета, вероятность которой известна заранее.

Например:

P(орёл) = 60%.

При even-money payoutПроцесс перечисления выигранных денег игроку, а также сама сумма, которую оператор обязан выплатить по итогам игры.Подробнее → классический Kelly даёт:

20% капитала.

Такой пример математически чистый.

В спортивном беттинге реальная вероятность победы команды обычно неизвестна.

Её приходится оценивать на основе:

• статистики
• модели
• состава
• формы
• травм
• MetaРазбираем понятие «мета» в киберспорте и азартных играх: как она формируется, почему постоянно меняется и почему знание меты даёт преимущество в ставках.Подробнее →
• карты
• других факторов

Именно здесь появляется estimation error.

Если пользователь переоценивает своё преимущество, Full Kelly одновременно переоценивает и рекомендуемый размер позиции.

Kelly и Overconfidence BiasЧто такое Overconfidence Bias — когнитивное искажение, из-за которого игроки переоценивают свои навыки и контроль над исходом. Почему“уверенность” часто ведёт к ошибкам, риску...Подробнее →

Поэтому критерий особенно тесно связан с Overconfidence Bias.

Представим:

• реальная вероятность события — около 51%
• игрокЧеловек, который участвует в азартной игре или заключает ставку.Подробнее → уверен, что она составляет 60%.

Формула не знает, что пользователь слишком уверен в своей модели.

Она просто принимает:

p = 0,60

и рассчитывает ставку исходя из этого числаСтавка на большие/маленькие числа (High or Low, также Low Bet и High Bet по отдельности) — внешняя равная ставка (см. Равные шансы) на то, попадёт ли выпавшее число в младший ди...Подробнее →.

Получается парадокс:

математически корректная формула способна усиливать последствия некорректного входного предположения.

Kelly Criterion не защищает от переоценки собственной экспертности.

Что такое Full Kelly

Full Kelly означает использование полной доли капитала, рассчитанной классическим критерием.

Например:

Kelly fraction = 10%.

Full Kelly:

10% банкролла.

В идеализированной модели с правильно известными вероятностями именно такая доля максимизирует долгосрочный ожидаемый log-growth.

Но максимальный ожидаемый рост не означает минимальный рискРиск — возможность потерять деньги или другую ценность в результате азартной игры или ставки.Подробнее →.

Траектория капитала может испытывать значительные просадки.

Исследования Kelly gambling отдельно рассматривают проблему drawdown: максимизация долгосрочного роста допускает существенные краткосрочные падения капитала.

Что такое Fractional Kelly

На практике встречается Fractional Kelly — использование только части рассчитанной позиции.

Например:

Full Kelly = 10%.
Half Kelly = 5%.
Quarter Kelly = 2,5%.

Это снижает размер позиции и потенциальную волатильность капитала ценой уменьшения теоретического долгосрочного growth rate.

Fractional Kelly особенно часто обсуждается из-за неопределённости исходных вероятностей и риска drawdown.

Однако Fractional Kelly также не исправляет плохую модель вероятностей.

Если предполагаемого edge на самом деле нет, уменьшенная ставка лишь уменьшает размер риска — она не создаёт математического преимущества.

Kelly Criterion и Bankroll

Kelly использует не фиксированную денежную сумму, а долю текущего капитала.

Например:

• банкролл = 100 000 ₽
• Kelly fraction = 5%.

Размер позиции:

5 000 ₽.

Если капитал изменился, денежный размер следующей позиции тоже меняется.

В этом заключается compounding logic критерия.

После роста банкролла абсолютные позиции увеличиваются.

После падения — уменьшаются.

Поэтому Kelly fundamentally относится к bankroll allocation, а не к прогнозированию исходов.

Kelly и риск разорения

В идеализированной классической модели Kelly не предполагает ставить весь капитал на обычное событие с ненулевой вероятностью проигрыша.

Причина связана с логарифмом капитала:

при полном разорении wealth становится нулевым, а:

log(0) — −∞.

Это делает потерю всего капитала математически катастрофической для цели log-growth.

Но из этого не следует, что Full Kelly является «безопасным».

Даже Kelly-optimal стратегия может испытывать серьёзные drawdowns. Современные исследования поэтому отдельно рассматривают risk-constrained Kelly и другие способы ограничения риска.

Kelly Criterion и Variance

Даже при положительном математическом ожидании результат отдельной ставки остаётся случайным.

Положительный edge не означает:

«эта ставка выиграет».

Kelly работает с повторяющимися вероятностными событиями.

Variance означает, что фактическая траектория может существенно отличаться от среднего ожидания.

Поэтому возможна серия проигрышей даже при корректно найденном положительном edge.

Это не обязательно доказывает, что Kelly «перестал работать».

Но и серия выигрышей не доказывает, что исходная модель вероятностей была правильной.

Kelly Criterion против progression systems

Главное различие можно сформулировать очень коротко.

Martingale: размер зависит от прошлого проигрыша.

Paroli: размер зависит от прошлого выигрыша.

Fibonacci: размер зависит от позиции в progression.

Kelly Criterion: размер зависит от предполагаемого edge и текущего bankroll.

Поэтому Kelly нельзя корректно классифицировать как ещё одну разновидность Martingale.

Это другая математическая задача.

Ограничения Kelly Criterion

Для корректного применения модели необходимо знать или достаточно точно оценить:

• вероятность исхода
• выплату
• текущий капитал.

На практике возникают дополнительные проблемы:

• ошибка оценки вероятности
• изменение коэффициентов
• корреляция ставок
• ограничения букмекера
• неопределённость модели
• variance и drawdown.

Особенно опасно воспринимать число, полученное из формулы, как доказательство того, что ставка выгодна.

Формула не проверяет качество исходных данных.

Что важно помнить

Kelly Criterion — это прежде всего модель определения размера позиции при предполагаемом положительном edge.

Она не:

• предсказывает победителя
• создаёт математическое преимущество
• устраняет variance
• гарантирует прибыль
• исправляет ошибочную вероятность.

Классический Kelly максимизирует ожидаемый долгосрочный логарифмический рост капитала при заданных вероятностях.

Но именно выражение «при заданных вероятностях» является ключевым.

В реальном спортивном беттинге вероятность обычно не известна — она оценивается.

Поэтому точность Kelly Criterion никогда не может быть выше качества данных и модели, которые подставлены в формулу.